Queremos calcular: $\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - n - 3} \right)$ Bueno, nuevamente estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito". Como te decía antes, la presencia de las raíces cuadradas nos hace sospechar que seguramente nos ayude multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión, así que vamos por ahí: $\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - n - 3} \right) \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - n - 3}}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - n - 3}}$ Expresamos el numerador como una diferencia de cuadrados: $\lim_{n \to +\infty} \frac{(\sqrt{n^2 + 1})^2 - (\sqrt{n^2 - n - 3})^2}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - n - 3}}$ Simplificamos el cuadrado con la raíz (mucho ojo ahí no te me olvides del paréntesis!) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1 - (n^2 - n - 3)}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - n - 3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n + 4}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - n - 3}}$ Y ahora llegamos a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". La salvamos sacando factor común "el que manda", arrancamos por adentro de las raíces: $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 4}{\sqrt{n^2(1 + \frac{1}{n^2})} + \sqrt{n^2(1 - \frac{1}{n} - \frac{3}{n^2})}}$ Distribuimos la raíz: $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 4}{n \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + n \sqrt{1 - \frac{1}{n} - \frac{3}{n^2}}}$ Sacamos factor común $n$ en el numerador y en el denominador: $\lim_{n \to +\infty} \frac{n (1 + \frac{4}{n})}{n(\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n} - \frac{3}{n^2}})}$ Simplificamos las $n$ y tomamos límite $\lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{4}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n} - \frac{3}{n^2}}} = \frac{1}{2}$ Por lo tanto, el límite de la sucesión cuando $n$ tiende a infinito es: $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - n - 3} = \frac{1}{2}$